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Neutral Controls

Noise Inducing Control

Feature Selection: A Bias-Variance Trade-Off

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Neutral Controls

现在，您可能已经对回归如何调整混杂变量有了一定的了解。如果您想知道干预 T 对 Y 的影响，同时调整混杂变量 X，您所要做的就是在模型中加入 X。或者，为了得到完全相同的结果，您可以根据 X 预测 T，得到残差，并将其作为干预的去势版本。在 X 固定不变的情况下，将 Y 与这些残差进行回归，就能得到 T 与 Y 的关系。

但 X 中应包含哪些变量呢？同样，并不是因为增加变量就能调整变量，所以你想在回归模型中包含所有变量。你不想包含共同效应（对撞机）或中介变量，因为这些变量会引起选择偏差。但在回归中，您还应该了解更多类型的控制因素。这些控制项乍看起来似乎无害，但实际上却相当有害。这些控制被称为中性控制，因为它们不会影响回归估计的偏差。但它们会对方差产生严重影响。正如您所看到的，在回归中包含某些变量时，需要权衡偏差和方差。例如，请考虑下面的 DAG：

您是否应该在模型中加入 credit_score2？如果不包括它，就会得到一直以来看到的相同结果。这个结果是无偏的，因为您是根据信用评分 1_buckets 进行调整的。但是，尽管您不需要这样做，请看看如果您将 credit_score2 计算在内会发生什么。将下面的结果与您之前得到的不包含 credit_score2 的结果进行比较。有什么变化？

 formula = "default~credit_limit+C(credit_score1_buckets)+credit_score2"
 model = smf.ols(formula, data=risk_data_rnd).fit()
 model.summary().tables[1]

首先，关于信贷限额的参数估计值变高了一些。但更重要的是，标准误差减小了。这是因为 credit_score2 对结果 Y 有很好的预测作用，它将有助于线性回归的去噪步骤。在 FWL 的最后一步，由于包含了 credit_score2，Y 的方差将减小，对 T 进行回归将得到更精确的结果。

这是线性回归的一个非常有趣的特性。它表明，线性回归不仅可以用来调整混杂因素，还可以用来减少噪音。例如，如果您的数据来自适当随机化的 A/B 测试，您就不需要担心偏差问题。但您仍然可以使用回归作为降噪工具。只需包含对结果有高度预测性的变量（并且不会引起选择偏差）即可。

Noise Inducing Control

就像控制可以减少噪音一样，它们也可以增加噪音。例如，再次考虑条件随机实验的情况。但这次，您感兴趣的是信用额度对消费的影响，而不是对风险的影响。和上一个例子一样，信用额度是随机分配的，给定的是 credit_score1。但这次，我们假设credit_score1 不是混杂因素。它是干预的原因，但不是结果的原因。这个数据生成过程的因果图如下所示：

这意味着您不需要对credit_score1 进行调整，就能得到信用额度对消费的因果效应。单变量回归模型就可以了。在这里，我保留了平方根函数，以考虑干预反应函数的凹性：

 spend_data_rnd = pd.read_csv("data/spend_data_rnd.csv")
 model = smf.ols("spend ~ np.sqrt(credit_limit)",
 data=spend_data_rnd).fit()
 model.summary().tables[1]

 但是，如果你确实包括了credit_score1_buckets，会发生什么呢？

 model = smf.ols("spend~np.sqrt(credit_limit)+C(credit_score1_buckets)",
 data=spend_data_rnd).fit()
 model.summary().tables[1]

您可以看到，它增加了标准误差，扩大了因果参数的置信区间。这是因为，OLS 喜欢干预方差大的情况。但是如果控制了一个可以解释干预的协变量，就会有效地降低干预的方差。

Feature Selection: A Bias-Variance Trade-Off

在现实中，很难出现协变量导致干预而不导致结果的情况。最有可能出现的情况是，有很多混杂因素同时导致 T 和 Y，只是程度不同而已。在图  中，X1 是 T 的强致因，但 Y 的弱致因；X3 是 Y 的强致因，但 T 的弱致因；X2 处于中间位置，如每个箭头的粗细所示。

在这种情况下，您很快就会陷入进退两难的境地。一方面，如果您想摆脱所有偏差，就必须包括所有协变量；毕竟，它们是需要调整的混杂因素。另一方面，对干预原因进行调整会增加你的估计器的方差。

为了了解这一点，让我们根据图  中的因果图来模拟数据。这里，真实的 ATE 是 0.5。如果您试图在控制所有混杂因素的情况下估计这一效应，估计值的标准误差会过高，无法得出任何结论。

 np.random.seed(123)
 n = 100
 (x1, x2, x3) = (np.random.normal(0, 1, n) for _ in range(3))
 t = np.random.normal(10*x1 + 5*x2 + x3)
 # ate = 0.05
 y = np.random.normal(0.05*t + x1 + 5*x2 + 10*x3, 5)
 df = pd.DataFrame(dict(y=y, t=t, x1=x1, x2=x2, x3=x3))
 smf.ols("y~t+x1+x2+x3", data=df).fit().summary().tables[1]

 如果您知道其中一个混杂因素对干预的预测作用很强，而对结果的预测作用很弱，您可以选择将其从模型中剔除。在本例中，这就是 X1。现在，请注意！这将使您的估计出现偏差。但是，如果这也能显著降低方差，也许这就是值得付出的代价：

 smf.ols("y~t+x2+x3", data=df).fit().summary().tables[1]

底线是，在模型中包含（调整）的混杂因素越多，因果关系估计值的偏差就越小。但是，如果您包含的变量对干预结果的预测作用较弱，但对治疗的预测作用较强，那么这种偏差的减少将以方差的增加为代价。同理可证，有时为了减少方差而接受一点偏差是值得的。此外，您应该非常清楚，并非所有的混杂因素都是相同的。当然，因为 T 和 Y 的关系，所有的混杂因素都是常见的。但如果它们对治疗的解释太多，而对干预结果的解释几乎没有，那么你真的应该考虑将其从调整中剔除。这适用于回归，但也适用于其他调整策略，如倾向得分加权。

遗憾的是，混杂因素对干预的解释能力应该有多弱，才能证明剔除它是合理的，这在因果推理中仍是一个未决问题。不过，这种偏差与方差的权衡还是值得了解的，因为它有助于您理解和解释线性回归的情况。